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Na matemática, Geometria euclidiana é a geometria sobre planos ou objetos em três dimensões baseados nos postulados de Euclides de Alexandria. O texto de Os Elementos foi a primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro texto a falar sobre teoria dos números. Foi também um dos livros mais influentes na história, tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático. O método consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas intuitivos, e então provar várias outras proposições (teoremas) a partir desses axiomas. Muitos dos resultados de Euclides já haviam sido afirmados por matemáticos gregos anteriores, porém ele foi o primeiro a demonstrar como essas proposições poderiam ser reunidas juntas num abrangente sistema dedutivo.
Em matemática, linhas retas ou planos que permanecem sempre a uma distância fixa uns dos outros independentemente do seu comprimento. Este é um princípio da geometria euclidiana. Algumas geometrias não euclidianas, como a geometria elíptica e hiperbólica, no entanto, rejeitam o axioma do paralelismo de Euclides.
O espaço euclidiano foi introduzido pelos gregos antigos como uma abstração de nosso espaço físico. Sua grande inovação, aparecendo em de Euclides Elements era construir e provar toda a geometria partindo de algumas propriedades muito básicas, que são abstraídas do mundo físico, e não pode ser matematicamente provado por causa da falta de ferramentas mais básicas. Essas propriedades são chamadas de postulados ou axiomas na linguagem moderna. Esta forma de definir o espaço euclidiano ainda está em uso com o nome de geometria sintética .
Em 1637, René Descartes introduziu as coordenadas cartesianas e mostrou que isso permite reduzir os problemas geométricos a cálculos algébricos com números. Essa redução da geometria à álgebra foi uma grande mudança de ponto de vista, pois, até então, os números reais - isto é, números racionais e números não racionais juntos - eram definidos em termos de geometria, como comprimentos e distâncias.
A geometria euclidiana não era aplicada em espaços com mais de três dimensões até o século XIX. Ludwig Schläfli generalizou a geometria euclidiana para espaços de n dimensões usando métodos sintéticos e algébricos, e descobriu todos os politopos regulares (análogos de dimensão superior dos sólidos platônicos ) que existem em espaços euclidianos de qualquer número de dimensões.
Apesar do amplo uso da abordagem de Descartes, que foi chamada de geometria analítica , a definição do espaço euclidiano permaneceu inalterada até o final do século XIX. A introdução de espaços vetoriais abstratos permitiu seu uso na definição de espaços euclidianos com uma definição puramente algébrica. Esta nova definição mostrou ser equivalente à definição clássica em termos de axiomas geométricos. É esta definição algébrica que agora é mais freqüentemente usada para introduzir espaços euclidianos.
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